男の麻雀ポリシー > 【139】『参考資料・０１　男の麻雀に必要な確率・統計の知識』

【139】『参考資料・０１　男の麻雀に必要な確率・統計の知識』

• ■　順列・組合せ
• ■　確率
• ■　確率変数
• ■　統計

http://www.sist.ac.jp/~suganuma/kougi/other_lecture/SE/math/prob/prob.htm#1

■　向聴の成功率

http://dora12.net/modules/university/stat/toukei/ka1.html

西は役牌ではありません。何を切るのが最も和了率が高いでしょう？

先日フォーラムで上がった議題です。
ある程度うまくなってくれば両面ターツを一つ落とすのが早いというのは知っている人が多いと思います。

では本当にそうか？これを計算してみます。

A：縦フォロー落とし(ターツオーバーに受ける)
B：両面落とし
と置きます。

＊Aには「一向になったあと完全形になる」
　Bには「二向時で一向時の完全形を確定させる」
　それぞれ縦引きの手変わりがありますが、
　片方が一方的に有利となる情報ではないためとりあえず無視します。


まずここで

A　二向受け32枚　一向受け16枚より
32/134×16/134

B　二向受け16枚からは一向受け20枚
　二向受け12枚からは一向受け16枚より
16/134×20/134 + 12/134×16/134

これが512/134^2で一致するため、
スピードは同等なのではないか？

この考え方に触れておきましょう。
よく見る計算方なのでこれを念頭に置いて以下の文を読むと理解が深まると思います。

確かに確率の掛け算になっているし妥当なようにも見えますが、
実はこれは誤りです。

厳密に確率計算をする場合、
成功率×成功率
の計算ではいけません。

なぜなら成功率というのは１巡あたりの成功率であるからで、
これだとあと2順で聴牌する確率になっています。

ちなみに２巡でのテンパイ率ならこの計算通り一致します。

かといってこれを○巡目まで出していくといつかは聴牌するわけですから、
どんな受けでも計算結果は100%になってしまいます。

でどうするかと言うと、スピードをみるわけです。

今回の事象の「失敗」は他家の和了や聴牌、流局等、
巡目によって増えていく危険のみによって生まれます。
つまり早ければ早いほど成功率は上がる訳です。

よってシャンテン成功率は消費巡目と単調相関しますから、
シャンテン成功率は「成功までの平均消費巡目」で評価できることになります。

でこれを計算すると、

確率pの事象が1回成功するまでにかかる試行回数の平均は
Σ p(k+1)(1-p)^k
等比数列の和で簡単に分解でき結果は1/p

今回は２つの事象が成功するまでの試行回数で、それぞれは独立だから

一向の成功率をp、二向の成功率をqとおくと

1/p+1/q　が成功率を評価する式になります。

今回の場合をみると

A（二向を強く）
134/32+134/16

B（一向を強く）
134/28+(16×134/20+12×134/16)/(16+12)
｛後者は16枚からの134/20と12枚からの134/16の平均値｝

計算すると12.56 vs 12.2
でBの一向強化が強いことがわかります。
これほど良形同士の比較でも1/3順も違うのは大きいですね。

ちなみにわざわざ計算しなくともこの手の問題は一般化できます。

受けの枚数を同等とすると、
p+q=k　(kは定数)　とおけ、

このとき成功率の評価式Xは
X=1/p+1/q
=1/p+1/(k-p)
=k/p(k-p)

p(k-p)はご存知上に凸となる二次関数ですから、
p=k/2で最大値を取り、両側に単調減少していきます。
p=k/2ならばp=q

よってpとqの差が小さいほどXは小さく、つまり早く張れることになり

受けの枚数の総和が等しいとき、
一向聴と二向聴の受けの枚数の差が小さいほど聴牌率は上がる
が導けます。

「確率の小さい方を助けましょう」というのはここからきていますね。
これがわかっていれば上記の計算は必要ありません。

一般的に一向聴の受けを最大にせよというのはこの式によって証明できます。

■　順列・組合せ

１．順列・組合せ

１．１ 順列・組合せ

例1：　例えば，3 個の数字 {1, 2, 3} から，2 個の数字を取り出した順列は，

(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)

の 6 種類あります．しかし，組み合わせは，順序を問題にしませんので，

(1, 2), (1, 3), (2, 3)

の 3 種類になります．

　　例1の場合に対して，上記の定理を使用して順列及び組み合わせの数を計算すれば，6 及び 3 になることは明らかだと思います．

　　以下，特別な場合に対する，順列や組み合わせの数を計算するための定理をあげておきます．
　　n 個の中の p 個が同じものであれば，nPn の中には，p 個の並べ方（ p! ）だけ同じ順列が含まれています．このことを考慮すれば，以下の定理は明らかだと思います．

１．２ 二項定理

例えば，この定理を利用することによって，

(x + 2)¹⁰

における x⁷の係数を，

₁₀C₃2⁷ = 120 x 128 = 15360

のようにして，計算することができます．また，下の定理は，二項定理の拡張です．

■　確率

２．確率

２．１ 事象

２．２ 確率の定義

　　確率現象を表現するのに，各根元事象に対して，各事象が発生する確率を明記した以下に示すような表がよく使用されます．この表のことを，確率分布表と呼びます．

　　上の例において，各目が出る確率を 1/6 と設定したことに違和感を感じなかったと思います．経験的に，多数回サイコロを投げれば，各目の出が出た回数を試行回数で割った値が，本来そのサイコロが持っている各目の出る確率に近づいていくこと，そして，その値が 1/6 であることを経験的に知っているからです．このことを保証したのが以下に述べる法則です．

　　以下，確率に関する定義や定理をいくつかあげておきます．

　　ベイズの定理は，事象Ａ₁，Ａ₂，･･･，Ａ_r が互いに排反であり，かつ，すべての原因を挙げている場合に，ある事象Ｂが起こったときそれがどの原因によって発生したかを示す確率 P(Ａ_i｜Ｂ) を求めるために使用されます．

　　例えば，２つの箱があり，各箱には赤い玉と白い玉が入っていたとします．箱 1 には，赤い玉が 20 個，白い玉が 80 個入っており，また，箱 2 には，赤い玉が 60 個，白い玉が 40 個入っていたとします．今，どちらかの箱から玉を 1 個取り出すものとします．また，各箱から取り出す確率を P(A_i) （ i = 1, 2 ）とします．

　　どちらの箱から取り出しても良いとしたとき，各箱から取り出す確率 P(A_i) （事前確率）は，いずれも 0.5 になります．今，どちらかの箱から球を取り出した結果，玉の色は白だったとします．このとき，いずれの箱から玉を取り出したかを示す確率（事後確率）は，

P(Ａ_i｜Ｂ)　　　Ｂ：白い玉であるという事象

のように表現でき，取りだした球が白であったという結果によって，事前確率とは異なってきます．具体的に，箱 1 から取り出した確率は，ベイズの定理によって，以下のように計算できます．

■　確率変数

３．確率変数

３．１ 確率変数

　　サイコロを投げるような場合は，確率変数は離散的な値だけを取ることができます．そのような場合を離散型分布といいます．離散型分布に対する確率分布関数は，確率関数（ X が x_i という値を取る確率に相当），

f_X(x_i) = P(X = x_i)　　（i = 1, 2, ･･･）

を使用して，

のように記述できます．例えば，サイコロを投げるような場合における確率関数と確率分布関数は以下のようになります．

　　確率変数が連続値を取るような分布も存在します．例えば，手で棒を垂直に立てた後，手を離したとします．そのとき，棒が倒れる方向 X は，0 から 360°の間の任意の値を取ることができます．このような分布を連続型分布といいます．棒の例の場合，分布関数の値は角度 x に比例しますので，右図のようになります．

　　それでは，連続型分布の場合，離散型分布の確率関数に相当するような関数は存在しないのでしょうか．その答えが下の定義です．

　　先に述べた棒の例では，その確率密度関数は以下のようになります（右図参照．このような分布を，一様分布といいます）．

　　ここで注意してもらいたいのは，離散型分布の確率関数とは異なり，確率密度関数 f(x) は，X が 値 x を取るときの確率を表しているわけではないことです．この点は，棒の例からも明らかだと思います．例えば，任意の a （ 0 ≦ a ≦ 360 ）の対して，f(a) は 1/360 になりますが，これは決して「倒れたときの角度が a である確率は 1/360 である」といったことを意味していません．なぜなら，倒れたときの角度がある特定の値に完全に一致する確率は限りなく 0 に近いからです．

　　確率密度関数において，確率としての意味を持つのは上右図の斜線で示した部分の面積です．図の斜線部の面積 S は，下に示すように，倒れたときの角度が a から b の間に入る確率を意味しています．確率分布関数と確率密度関数の関係式において，f(x)dx を確率（ dx を 斜線部の幅 (b - a) とみなす），積分記号を Σ 記号とみなせば，離散型分布との対応が取りやすいかと思います．

３．２ 平均と分散

３．３ 確率分布

　　確率変数がどのような分布をするかは，先に述べた度数分布表を使って表す場合もありますが，理論的に与えられる確率分布も多くあります．ここでは，代表的な確率分布を紹介します．

３．３．１ 離散型分布

1. 二項分布

   

   　　繰り返し行われる独立試行で，もし各々の試みに対して単に２つの結果だけが可能で，それらが起こる確率が各試行を通じて一定である場合，その試行をベルヌーイ試行といいます．成功の確率が p で失敗の確率が q = 1 - p であるベルヌーイ試行を n 回行った結果，x 回成功する確率（確率関数）は以下のようになり，この分布を母数 p の二項分布と呼びます．

   

   　　二項分布という名称は，この式が，(py + q)ⁿ を展開したときの y^x の係数に等しいことに由来します．なお，二項分布の確率分布関数，平均，及び，分散は以下のようになります．

   

   平均： E[X] = np，　　分散： V[X] = npq

   　　二項分布は，n の値が大きくなる（ np ≧ 5 と nq ≧ 5 が成立する程度）と後に述べる正規分布，

   

   に近づきます．

2. ポアソン分布

   　　二項分布は，p の値が小さく，n の値が非常に大きくなると，λ = np のポアソン分布に近づきます．単位時間内に到着する電話の呼び数 x の分布等がポアソン分布に従うことが良く知られています．母数 λ のポアソン分布の確率（確率関数），平均値，及び，分散は以下のようになります．

   

   平均： E[X] = λ，　　分散： V[X] = λ

   　　ポアソン分布は，λ の値が大きくなる（ λ > 10 程度）と，正規分布，

   

   に近づきます．

３．３．２ 連続型分布

1. 一様分布

   　　先に述べた棒の例が一様分布の例です．一様分布の確率密度関数，平均，及び，分散は以下のようになります．

   密度関数　　f(x) = 1 / (b - a)　　　a ≦ x ≦ b

   　　　　　　　　　　 = 0　　　　　　　x < a， または， x > b

   平均： E[X] = (a + b) / 2，　　分散： V[X] = (a - b)² / 12

2. 指数分布

   

   　　指数分布は，ポアソン分布と強い関係があります．例えば，電話の呼び間隔が平均値 1 / λ の指数分布をするとき，単位時間内に到着する電話の呼び数の分布は平均値 λ のポアソン分布をします．母数 λ の指数分布の確率分布関数(右図参照)，確率密度関数，平均，及び，分散は以下のようになります．

   分布関数　　F(x) = 1 - e^-λx　　　x ≧ 0

   　　　　　　　　　　 = 0　　　　　　　 x < 0

   密度関数　　f(x) = λe^-λx　　　x ≧ 0

   　　　　　　　　　　 = 0　　　　 x < 0

   平均： E[X] = 1 / λ，　　分散： V[X] = 1 / λ²

3. 正規分布（ガウス分布）　N(m, σ²)　　密度関数，分布関数，α値の計算　　

   

   　　正規分布は，非常によく使われる分布です．母数 m，σ の正規分布 N(m, σ²) の確率密度関数，平均，及び，分散は以下のようになります．

   

   平均： E[X] = m，　　分散： V[X] = σ²

   　　平均値が 0，標準偏差が 1 である正規分布 N(0, 1²) を標準正規分布と呼びます．確率変数 X の分布が N(m, σ²) の正規分布に従うとき，次の変数変換（標準化変換）によって得られる確率変数 Z は標準正規分布 N(0, 1²) に従います．

   Z = (X - m) / σ

   　　また，値 α（ 0 ≦ α ≦ 1 ）に対して，以下の図に示すような値 λ を正規分布の α 値，または，(α×100) パーセント値といいます．α は，図からも明らかなように，確率変数の値が λ 以上になる確率（両側の場合は，確率変数の値が λ 以上，又は，ーλ以下になる確率）に相当します．α 点は，後に述べる推定において非常に重要となりますので十分理解しておいてください．なお，以下に述べる各分布に対しても，同様に，α 点を定義することができます．

   

4. 自由度 n の χ² 分布　　密度関数，分布関数，α値の計算　　

   

   　　x₁，x₂，・・・，x_n が互いに独立な確率変数で，それぞれが標準正規分布 N(0, 1²) に従うとき，

   χ² = x₁² + x₂² + ・・・ + x_n²

   なる確率変数 χ² が従う分布を自由度 n の χ² 分布といいます．自由度 n の χ² 分布の確率密度関数，平均，及び，分散は以下のようになります．

   

   平均： E[X] = n，　　分散： V[X] = 2n

   　　ここで，Γ は，ガンマ関数であり，次のように定義されます．（ガンマ関数の計算　）

   

   　　　　Γ(1) = 1, Γ(p+1) = pΓ(p)

   　　　　Γ(n+1) = n!　　　n： 整数

5. 自由度 n の t 分布　　密度関数，分布関数，α値の計算　→　

   

   　　x₁，x₂，・・・，x_n が互いに独立な確率変数で，それぞれが標準正規分布 N(0, 1²) に従うとき，

   

   なる確率変数 x が従う分布を自由度 n の t 分布といいます．自由度 n の t 分布の確率密度関数，平均，及び，分散は以下のようになります．

   

   平均： E[X] = 0，　　　分散： V[X] = n / (n - 2)　　　平均，分散は，n ≧ 3

   　　なお，自由度が大きくなると，t 分布は正規分布に近づき，自由度が無限大になると，標準正規分布 N(0, 1²) と一致します．

6. 自由度 n₁，n₂ の F 分布　　密度関数，分布関数，α値の計算　→　

   

   　　χ₁² が自由度 n₁ の χ² 分布，χ₂² が自由度 n₂ の χ² 分布に従い，かつ，χ₁² 及び χ₂²が互いに独立であるとき，

   x = (χ₁² / n₁) / (χ₂² / n₂)

   なる確率変数 x が従う分布を自由度 (n₁, n₂) の F 分布といいます．自由度 (n₁, n₂) の F 分布の確率密度関数，平均，及び，分散は以下のようになります．ただし，平均に対しては n₂ > 2，分散に対しては n₂ > 4 とします．

   

   

■　統計

４．統計

４．１ 統計的推定

４．１．１ 標本と母集団

　　調査や観測等によって，我々が知りたいのは母集団の特性値−母数−です．観測された標本 x₁, x₂, ･･･, x_n から，母数を推定する方法を統計的推定と呼びます．母平均値や母分散を推定する方法として，以下に示すような標本統計量（標本平均値，標本分散などは，母平均値，母分散等に対する点推定値）がよく使用されます．

の統計量の内，分散や標準偏差の概念は多少分かりにくいかもしれません．分散は，データのばらつきを表す指標です．分散が大きいほど，データがばらついていることになります．先に述べた正規分布のグラフを見てもらうと，σ が小さいほど，尖ったグラフになっています．つまり，σ が小さいほど，データのばらつきが少なく，平均値の周りに集中していることになります．極端な例として，分散が 0 であることは，すべてのデータが同じ値になっていることを意味しています．

　　標本統計量も一つの確率変数です．ある観測で得られた標本平均値や標本分散は，確率変数 Ｘ や Ｓ² の一つの実現値であると考えられます．従って，その統計量を計算できます．例えば，標本平均値と標本分散の平均は以下のようになります．

E[Ｘ] = m　　　　m：母平均値

E[Ｓ²] = (n - 1) σ² / n　　　σ²： 母分散

　　上式から明らかなように，標本平均値の平均値は母平均値と一致しますが，標本分散に関しては，一致しません．標本平均値のように，標本平均値の平均値が母平均値と一致するような統計量を不偏推定量と呼びます．母分散の不偏推定量は，以下のようになり，先に述べた標本分散の代わりによく使用されます．

　　また，多変数の場合は，以下に示すような標本統計量がしばしば使用されます．

ただし，

X₁, X₂, ･･･, X_m ： 確率変数

x_i1, x_i2, ･･･, x_in ： 確率変数 X_i に対する標本

とします．

４．１．２ 中心極限定理

　　中心極限定理が適用できる標本の大きさの目安は，概略，以下の通りです．

• 分布が平均に対して左右対称の場合：　n ≧ 30
• 分布が平均に対して左右非対称の場合：　n ≧ 50

４．１．３ 区間推定法

　　先に述べた点推定量には，その値がどの程度信頼できるかの情報が全く含まれていません．そこで，点推定量を元に，母数の値が，どの程度の信頼度で，どの範囲に含まれるかを推定するのが，区間推定です．以下においては，母平均値の区間推定法に関して簡単に述べます．

1. 母分散 σ² が既知の場合

   　　母集団が，正規分布 N(m, σ²) に従っているものとします．ただし，標本の大きさ n が大きいときは，必ずしも正規分布である必要はありません．このとき，中心極限定理により，標本平均値 Ｘ は，N(m, σ²/n) の正規分布をします．従って，

   

   は，標準正規分布 N(0, 1²) をします．A(α) を標準正規分布の α 点とすると，

   P(|Ｚ| ≦ A(α)) = 1 - α

   という関係が成り立ちます．つまり，

   

   となります．このことより，推定の信頼度を (1 - α) とすると，母平均の信頼区間は，以下のようになります．

   

2. 母分散 σ² が未知の場合

   ［定理］ n 個の確率変数 X₁, X₂, ･･･, X_n が平均値 m の同じ正規分布に従い，互いに独立ならば，その標本分散を Ｓ² としたとき，

   

   で定義される確率変数 T_n-1 が，母分散に関係なく，自由度 n-1 の t 分布に従う．

   　　上の定理を利用することによって，大きさ n の標本の標本平均値が ｘ，標本分散が ｓ² であるとき，母平均値 m の信頼度 (1 - α) の信頼区間は，自由度 n-1 の t 分布の α 点を t_n-1(α) とすると，以下のようになります．

   

４．２ 統計的検定

４．２．１ 仮説検定

　　実験等によって得られた標本統計量に基づき，何らかの推論を行いたい場合があります．例えば，標本平均値からその「母平均値が m である」ことを検証したい，２つの母集団から得られた標本平均値に基づき，それらの「母平均が等しい」ことを検証したい，といった場合です．このような場合，まず，一つの仮説 Ｈ（帰無仮説）をたてます．例えば，上の例では，「母平均値が m である」，「母平均が等しい」などがその仮説に相当します．

　　既に述べたように，標本統計量も一つの確率変数です．同じ母集団から採った標本平均値であっても，常に同じ値になるわけではありません．したがって，２つの母集団から得られた標本平均値が同じ値になったとしても，必ずしも２つの母集団の母平均値が等しいことを意味しているわけではありません．同様に，２つの標本平均値が異なっていても，それらの母平均値が異なっているとは限りません．

　　そこで，以下に述べるような方法によって仮説の正誤を判定します．標本統計量は設定した仮定の下で何らかの分布をします．得られた標本統計量がその分布の滅多に起こらないような値であったとします．例えば，標本統計量が平均値 50，標準偏差 10 の正規分布をするとき，実際に得られた標本統計量が 85 であったような場合です．実際，このようなことが起こる確率は，0.001 以下です．このような場合に対する解釈として２つあります．一つは，滅多に起こらないことが起こったという解釈です．他の一つは，設定した仮定が間違っていたという解釈であり，一般には，この解釈を採用します．その際，先に述べた α 値（(α×100) パーセント値） λ を使用します．つまり，得られた統計量の値が λ より大きいまたは小さいとき（得られた統計量の値が実現する確率が α 以下であるとき），最初の過程が誤っているものとして棄却します．この方法を仮説検定といいます．

　　α 値（(α×100) パーセント値）として，普通，5 ％，または，1 ％が用いられ，これを有意水準といいます．仮説Ｈが有意水準 α で棄却されたとき，検定結果は水準 α で有意差があるといいます．また，仮説を棄却する範囲のことを棄却域といい，確率分布の片側または両側に棄却域をとる場合を，それぞれ片側検定，または，両側検定といいます．

　　ある仮説が棄却されたとしも，仮説が誤っていることを意味しているわけではありません．あくまで，得られたデータのもとでは，誤っている可能性が高いことを示唆しているにすぎません．同様に，棄却されなかったとしても，仮説が正しいことを意味しているわけではないことに，十分注意してください．

４．２．２ 平均値の検定

　　検定目的や条件によって，様々な検定方法が存在しますが，ここでは，平均値の検定について簡単に述べます．詳細については，統計に関する書物等を参照してください．